SL(2,R)

Алгебрична структура → Теорія груп Теорія груп
Основні поняття Підгрупа Нормальна підгрупа Комутант Фактор-група Гомоморфізм груп (Напів-)прямий добуток Пряма сума[en]
Алгебричні властивості Комутативна група Циклічна група Впорядкована група Група перетворень Розв'язна група
Скінченні групи Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Скінченна p-група Теорема Лагранжа Теореми Силова Симетрична група Sn Діедрична група Dn Знакозмінна група An 4-група Кляйна PSL(2,7) Групи Матьє M11 M12 M22 M23 M24 Групи Конвея Co1 Co2 Co3 Групи Янко J1 J2 J3 J4 Групи Фішера F22 F23 F24 Група чорної скриньки Монстр (М)
Топологічні групи Група Лі Загальна лінійна група GL(n) Спеціальна лінійна група SL(n) Ортогональна група O(n) Спеціальна ортогональна група SO(n) Унітарна група U(n) Спеціальна унітарна група SU(n) Симплектична група Sp(n) Прості Групи Лі G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ U(1) Група Лоренца Група Пуанкаре Група кватерніона
п о р

У математиці, спеціальна лінійна група ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ або ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ — це група дійсних ${\displaystyle :2\times 2}$ матриць, з детермінантом ${\displaystyle 1}$:

${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )=\left\{\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)\colon a,b,c,d\in \mathbb {R} \ {\text{і}}\ ad-bc=1\right\}.}$

Це зв'язна некомпактна проста дійсна група Лі, яка має застосування у геометрії, топології, теорії представлень і фізиці.

${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ діє на комплексній верхній півплощині шляхом дробово-лінійних  перетворень. Дія групи виражається через факторгрупу ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ (${\displaystyle 2\times 2}$ спеціальна проєктивна група над ${\displaystyle \mathbb {R} }$). Більш конкретно,

${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )=\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )/\{\pm I\}}$,

де ${\displaystyle I}$ — ${\displaystyle 2\times 2}$ одинична матриця. Вона містить модулярну групу ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$.

Також тісно пов'язаною структурою є 2-кратна покривна група^[en] ${\displaystyle \operatorname {Mp} (2,\mathbb {R} )}$, або метаплектична група^[en] (вважаючи ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ симплектичною групою).

Інша пов'язана група це ${\displaystyle \operatorname {SL} ^{\pm }(2,\mathbb {R} )}$, група дійсних ${\displaystyle 2\times 2}$ матриць з детермінантом ${\displaystyle \pm 1}$; вона є більш загальновживаною у контексті модулярних груп.